鏡像電荷

鏡像電荷(英文名:Image charge)是指研究導體(或半導體)感應電荷電場分布時引入的等效電荷。等效電荷與源電荷的關系類似于圖像與物體的關系。19世紀中期，英國物理學家威廉·湯姆孫(Lord Kelvin)提出了固體導電理論，并將鏡像法和電力線的概念引入到靜電中，而鏡像法則引入了鏡像電荷的相關概念。

鏡像電荷法的有效性是基于唯一性定理的推論，該定理指出當整個區(qū)域的電荷密度和所有邊界上的電勢值都已指定時，體積V中的電勢是唯一確定的。將這一推論應用于高斯定律的微分形式表明，在一個被導體包圍并含有指定電荷密度ρ的體積V中，只要給定每個導體上的總電荷，電場就是唯一確定的。如果已知電勢或電場，已知相應的邊界條件，則所考慮的電荷分布可以用更容易分析的形式代替，只要滿足研究區(qū)域的泊松方程，并在邊界處取正確值即可。鏡像法可以用來求解靜電場的邊值問題。它的基本原理是去掉邊界條件，把一些等效的鏡像電荷放在要求解的場之外，從而把有邊界的邊值問題轉(zhuǎn)化為無邊界的問題。

鏡像電荷法的有效性是基于唯一性定理的推論，該定理指出當整個區(qū)域的電荷密度和所有邊界上的電勢值都已指定時，體積V中的電勢是唯一確定的。將這一推論應用于高斯定律的微分形式表明，在一個被導體包圍并含有指定電荷密度ρ的體積V中，只要給定每個導體上的總電荷，電場就是唯一確定的。

如果已知電勢或電場，已知相應的邊界條件，則所考慮的電荷分布可以用更容易分析的形式代替，只要滿足研究區(qū)域的泊松方程，并在邊界處取正確值即可。鏡像電荷可以用來解決靜電場的邊值問題。其基本原理是去掉邊界，在不改變場內(nèi)電荷的情況下，將一些等效的鏡像電荷放在待求解場外的適當位置，從而將有邊界的邊值問題的求解轉(zhuǎn)化為無邊界問題的求解。基于唯一性定理，待求解區(qū)域內(nèi)某一點邊界上的原電荷和感生表面電荷的電勢可以用原電荷和鏡像電荷在該點產(chǎn)生的電勢的疊加來代替，即該方法得到的場解是唯一解。

選擇鏡像電荷應注意的問題:鏡像電荷必須位于要求解的場的邊界之外；將有邊界的非均勻空間作為無限均勻空間處理，在這個均勻空間中的介質(zhì)特性與待求解領域中的介質(zhì)特性一致；鏡像電荷(或電流)與實際電荷(或電流)共同作用，保持原來的邊界條件不變。

點電荷對無限大接地導體平面的鏡像對稱分布；點電荷是半無限接地導體角域的鏡像，角邊界由兩個半無限接地導體平面構(gòu)成。當包含角度時，角域中的點電荷將具有鏡像電荷。

唯一性定理

唯一性定理對于一系列分別具有電勢的導體組成的系統(tǒng)，假設存在一個解是有效的，并且這個解一定是唯一的。假設有另一個函數(shù)也適用于同一邊值條件的解?，F(xiàn)在拉普拉斯方程是線性的，即和滿足公式，所以要么這兩個解的任意線性組合滿足公式，公式中的和是常數(shù)。特別地，兩個解之間的差也必須滿足公式(1)，并且這個差被稱為:

當然，邊界條件不滿足。事實上，每個導體的表面都是零，因為sum在導體的表面上具有相同的值。所以，它是另一個靜電問題的解，也就是這種導體相同，所有導體電勢為零的系統(tǒng)的解。

高斯定理

高斯定理通過任意封閉曲面的電通量等于該曲面所包圍的所有電荷和電量除以它的代數(shù)和，不考慮封閉曲面外的電荷。對于一系列給定邊界條件的導體，鏡像電荷是計算其周圍電場的一種有用方法。在給定點電荷和無限大導體平面的情況下，鏡像電荷位于平面的另一側(cè)，離平面的距離等于離平面的距離。根據(jù)高斯定理，平面上的總電荷為0。