?不動點(diǎn)定理

不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)中一個非常重要的不動點(diǎn)定理，它可以應(yīng)用于有限維空間，構(gòu)成了一般不動點(diǎn)定理的基石。布勞威爾 的不動點(diǎn)定理是以荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊斯的名字命名的·布勞威爾（英語：L. E. J. 布勞威爾）。

不動點(diǎn)定理

布勞威爾 s不動點(diǎn)定理：對于拓?fù)淇臻g中滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f，存在一個點(diǎn)x0，使得f(x0) = x0。最簡單的習(xí)藝所形式的不動點(diǎn)定理是針對從圓盤D射向自身的函數(shù)F。更一般的定理適用于從歐幾里得空間的凸緊子集投影到自身的所有函數(shù)。

如果f 是n 1維實(shí)心球Bn 1={x∈R n 1|x|≤1}連續(xù)映射到自身（n=1，2，3…那么f 有一個不動點(diǎn)x∈Bn 1（即滿足f（x0）=x0）此定理是L.E.J.布勞威爾在1911年證明了這一點(diǎn)。不動點(diǎn)問題其實(shí)就是各種方程（如代數(shù)方程、微分方程、積分方程等）它在數(shù)學(xué)中非常重要，有很多實(shí)際應(yīng)用。

布勞威爾 的建立不動點(diǎn)定理是他的杰出貢獻(xiàn)．這個定理表明：在二維球面上，任何到其自身的一對一連續(xù)映射必須至少有一個不變點(diǎn)．他把這個定理推廣到高維球面．特別地，在N維球面中任何映射到自身的連續(xù)映射至少有一個不動點(diǎn)．在定理證明過程中，他引入了從一個復(fù)形到另一個復(fù)形的映射類，以及一個映射的映射度等概念．有了這些概念，他可以第一次處理流形上向量場的奇異性．

康托爾揭示了n與空間Rn之間不同的一一對應(yīng)關(guān)系．G．皮亞諾(Peano)然后將單位線段連續(xù)映射成正方形．這兩個發(fā)現(xiàn)表明，在拓?fù)溆成渲校S數(shù)可能是常數(shù)．1910年，Brouwer證明了這個猜想對于任意n的——維的拓?fù)洳蛔冃裕谧C明過程中，Brouwer創(chuàng)造了連續(xù)拓?fù)溆成涞暮唵伪平母拍睿匆幌盗芯€性映射的逼近．他還創(chuàng)造了映射的拓?fù)涠鹊母拍?，——，一些同倫類依賴于拓?fù)溆成涞倪B續(xù)變換．實(shí)踐證明，這些概念在解決重要的不變性問題時非常有用．例如，Brouwer用它來定義N維區(qū)域；J．W．亞歷山大(亞歷山大)用來證明貝蒂數(shù)的不變性．這些都是不動點(diǎn)定理的推廣。

不動點(diǎn)理論已經(jīng)成為非線性分析的重要組成部分，對這個問題的研究一直在偏微分方程中進(jìn)行、控制論、經(jīng)濟(jì)平衡理論和對策理論已經(jīng)成功地應(yīng)用于許多領(lǐng)域。本文首先綜合了前人文獻(xiàn)中不動點(diǎn)定理的一些等價形式，然后在h-在空間中建立了一個新的不動點(diǎn)定理、截口定理及應(yīng)用。全文共分為三章：第一章簡要介紹了本文將用到的凸分析拓?fù)淇臻g和集值映射的概念和性質(zhì)。第二章綜合了不動點(diǎn)定理的一些等價形式。首先，Brouwer 的不動點(diǎn)定理，然后通過一系列的證明得到了不動點(diǎn)定理的一些等價形式：Brouwer不動點(diǎn)定理(KKM定理(FKKM定理(Ky Fan極大極小不等式(白勞德不動點(diǎn)定理(Ky Fan范不等式ⅰ(Ky Fan極大極小不等式的幾何形式(Ky Fan范截口定理(Fan-白勞德不動點(diǎn)定理(Ky Fan范不等式ⅱ。第三章首先介紹了h-太空中的一些重要概念。其次，在H-一個新的粉絲已經(jīng)在空間里建立起來了-白勞德型不動點(diǎn)定理及其等價形式。

布勞威爾 s不動點(diǎn)定理是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的早期成果，是更一般的不動點(diǎn)定理的基礎(chǔ)，在泛函分析中尤為重要。1904年，Piers Bohl 首先證明了n = 3 的情況（發(fā)表于《純綷及應(yīng)用數(shù)學(xué)期刊》）然后在1909年，魯伊斯·布勞威爾（L. E. J. 布勞威爾）再次證明。1910年，雅克·阿達(dá)瑪提供了一般情況的證明，而布勞威爾在1912年提出了不同的證明。這些早期證明屬于非結(jié)構(gòu)性間接證明，與數(shù)學(xué)直覺主義的理想相矛盾。

這個定理可以通過非常實(shí)際的例子來理解。比如：拿兩張同樣大小的白紙，在上面畫一個縱坐標(biāo)系統(tǒng)和縱橫方格。將一張紙平放在桌面上，將另一張紙隨意揉成一個形狀（但不能撕裂），在第一張白紙上，沒有超出第一張的界限。那么第二張紙上一定有一個點(diǎn)正好在第一張紙上對應(yīng)點(diǎn)的上方。更簡單的說法是：將一張白紙平鋪在桌上，揉成一團(tuán)（不撕裂）把它放在原來白紙所在的地方，這樣只要沒有超出原來白紙平放時的邊界，那么白紙上就一定有沒有水平移動的東西。

這一論斷是基于Brouwer 二維歐氏空間中的s不動點(diǎn)定理（歐幾里得平面）因?yàn)槿喟櫦垙埵且粋€持續(xù)的轉(zhuǎn)變過程。

再比如在大商場等地方可以看到的平面地圖，標(biāo)有“您在此處”的紅點(diǎn)。如果標(biāo)注足夠精確，那么這個點(diǎn)就是將實(shí)際地形投影到地圖上的連續(xù)函數(shù)的不動點(diǎn)。

地球繞著它的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)軸在旋轉(zhuǎn)過程中是不變的，即旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的定點(diǎn)。

克納斯特-塔斯基定理（Knaster–塔爾斯基定理）在數(shù)學(xué)的場序論和格論中，克納斯特-塔斯基定理，以克納斯特命名（Bronis?awKnaster）和阿爾弗雷德·塔斯基（阿爾弗萊德塔爾斯基），它聲稱：設(shè)L是完備格，設(shè)f:L→L是保序函數(shù)。那么L中F的不動點(diǎn)集也是完備格。因?yàn)橐粋€完備的格不可能是空的，這個定義特別保證了F的至少一個不動點(diǎn)的存在，甚至是一個“最小”或“最大”不動點(diǎn)的存在。在許多實(shí)際情況下，這是這個定理最重要的含義。

λ演算（lambdacalculus）是研究函數(shù)的一套定義、函數(shù)應(yīng)用與遞歸形式系統(tǒng)。它由丘奇（阿龍佐丘奇）和他的學(xué)生克萊尼（StephenColeKleene）于20世紀(jì)30年代推出。丘奇在1936年用λ微積分給出了一個決定性的問題（Entscheidungsproblem）對的否定回答。這個微積分可以用來明確定義什么是可計算函數(shù)。關(guān)于兩個lambda演算表達(dá)式是否等價的命題不要超過一個“通用的算法”要解決這個問題，這是不確定性可以證明的第一個問題，甚至先于停機(jī)問題。Lambda演算對函數(shù)式編程語言影響很大，比如Lisp語言、ML語言和Haskell語言。Lambda演算堪稱最小的通用編程語言。它包括一個轉(zhuǎn)換規(guī)則（變量替換）和函數(shù)定義Lambda演算的通用性在于，任何可計算的函數(shù)都可以用這種形式表示和求值。因此，它相當(dāng)于圖靈機(jī)。盡管如此，Lambda演算強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)換規(guī)則的應(yīng)用，而不是實(shí)現(xiàn)它們的特定機(jī)器?？梢哉J(rèn)為是一種更接近軟件而不是硬件的方式。

邱奇-圖靈論題（教堂-Turingthesis）Allonzot，計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家·邱奇（阿龍佐丘奇）和阿蘭·圖靈命名的論題。這個題目最基本的觀點(diǎn)是，所有的計算或算法都可以用圖靈機(jī)來執(zhí)行。用任何常規(guī)編程語言編寫的計算機(jī)程序都可以被翻譯成圖靈機(jī)，反之亦然所以這個題目相當(dāng)于下面的語句：傳統(tǒng)的編程語言足以有效地表達(dá)任何算法。這個命題一般被假設(shè)為真，也被稱為丘奇命題或丘奇猜想和圖靈命題。

克萊因不動點(diǎn)定理（面巾紙-點(diǎn)定理）在數(shù)學(xué)方面，克萊尼的秩序論（Kleene）不動點(diǎn)定理聲稱給定任何完備格L和任何連續(xù)格L，（因此單調(diào)的）函數(shù)

f:L→L

f的最小不動點(diǎn)（lfp）是f的上升克萊尼鏈的最小上界