數學史

數學史是研究數學科學的發生發展和規律的科學，簡單來說就是研究數學史。它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程，還要探討影響這一過程的各種因素，以及歷史上數學科學的發展對人類文明的影響。因此，數學史的研究對象不僅包括具體的數學內容，還涉及歷史、哲學、文化學、宗教與其他社會科學和人文科學是一門交叉學科。

數學史既屬于史學領域，也屬于數學科學領域，因此數學史的研究不僅要遵循史學規律。

研究數學史的意義在于：

1、科學意義

每一門科學都有它的發展史作為一門歷史科學，它既有歷史性，也有現實性。其現實性首先表現為科學概念和方法的連續性今日 美國的科學研究在某種程度上是歷史上科學傳統的深化和發展，或者說是歷史上科學問題的解決，因此不可能割裂科學現實與科學歷史的關系。數學科學有著悠久的歷史與自然科學相比，數學是一門積累性的科學，它的概念和方法更具有連續性比如古代文明形成的十進制記數法和四則算術法則，一直沿用到今天，比如費馬猜想、歷史問題，如哥德巴赫 s猜想一直是現代數論領域的熱門話題，在實際的數學研究中可以開發數學傳統和數學史材料。國內外許多著名數學家對數學史有著深厚的修養或研究，善于從史料中汲取養分，古為今用，推陳出新。我國著名數學家吳文俊先生早年在拓撲學研究領域取得了卓越的成就70年代，他開始研究中國數學史，特別是在中國數學史的啟發下，開創了中國數學史研究理論和方法的新局面傳統的數學機械化思想“吳方法”論幾何定理機械證明的數學機械化方法，他的工作不愧為古為今用，振興民族文化的典范。

科學史的現實性還在于為今天提供經驗和教訓明確科學研究的方向，以避免走彎路或錯誤，為今天的決策提供依據美國的科技發展，也預測科學的未來。多了解數學史，就不會出現解角三等分 畫圖，避免在這類問題上浪費時間和精力。同時，總結中國數學發展史上的經驗教訓，對今天中國數學的發展是有益的。

2、文化意義

美國數學史家M.克萊因曾經說過：一個時代的總體特征在很大程度上與這個時代的數學活動密切相關。這種關系在這個時代尤為明顯”數學不僅僅是一種方法、數學是一門藝術，也是一門語言，它主要是一個內容豐富的知識體系，對自然科學家來說意義重大、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家非常有用，同時影響政治家和神學家的理論”數學廣泛影響了人類的生活和思想，是形成現代文化的主要力量。所以數學史從一個側面反映了人類文化史，也是人類文明史最重要的部分。很多歷史學家通過數學這面鏡子了解古代其他主要文化的特點和價值取向。古希臘（公元前600年-公元前300年）數學家強調嚴格的推理和從中得出的結論，所以他們不 不關心這些成果的實用性，而是教育人們進行抽象推理，激發人們 對理想和美的追求。通過對希臘數學史的考察，就非常容易理解為什么古希臘會有后世難以超越的優美文學、極度理性的哲學和理想化的建筑和雕塑。羅馬數學史告訴我們，羅馬文化是外來的，羅馬人缺乏獨創性，注重實用性。

3、教育意義

學過數學史，自然會有這種感覺：數學的發展是沒有邏輯的，或者說數學發展的實際情況與今天所學的數學課本非常不符。今天中學學的數學內容基本屬于17世紀微積分之前的初等數學知識，而大學數學系學的內容大多是17、18世紀的高等數學。這些數學教材歷經風雨，是在科學與教育要求相結合的原則指導下反復編寫的它們是按照一定的邏輯結構和學習要求對歷史數學資料進行編纂的知識體系，必然會拋棄許多數學概念和方法的實際背景、知識背景、演化過程以及導致其演化的各種因素，所以僅僅學習數學教科書很難獲得數學的本來面貌和全貌，而忽略了那些被歷史淘汰但可能對真正的科學有用的數學材料和方法，而彌補這種不足的最好辦法就是學習數學史。

在普通人眼里，數學是一門枯燥的學科，所以很多人把它當成了畏途從某種程度上來說，這是因為數學教材往往比較死板、一成不變的數學內容，如果將數學史的內容滲透到數學教學中，使數學活起來，可以激發學生的學習興趣學習興趣，幫助他們理解數學概念、對方法和原理的理解和深化。

科學史是一門文理交叉的學科從今天來看 美國的教育狀況，文理分野導致教育培養的人才已經不能適應自然科學和社會科學高度滲透的現代社會正是由于科學史的跨學科性質，它在溝通藝術和科學方面的作用才能顯示出來。數學系的學生通過數學史的學習，可以在接受數學專業訓練的同時獲得人文素養，而文科或其他專業的學生通過數學史的學習，可以了解數學的概況，獲得數理素養。歷史上數學家的成就和品德也會對青少年的人格培養起到非常重要的作用。

數學在中國有著悠久的歷史在14世紀之前，它是世界上最發達的國家出現了許多杰出的數學家，取得了許多輝煌的成就，以計算為中心的歷史源遠流長、具有程序性和機械性特征的算法數學模型與古希臘以幾何定理演繹推理為特征的公理數學模型相融，交替影響著世界數學的發展。由于各種復雜的原因，中國在16世紀后落后了，經過漫長而艱難的發展，逐漸融入到現代數學的潮流中。由于教育的失誤，受現代數學文明影響的人往往忘記了自己的祖先，對祖國的傳統科學一無所知。數學史可以幫助學生了解中國古代數學的輝煌成就，中國現代數學落后的原因，中國現代數學研究的現狀以及與發達國家的差距，從而激發學生的學習興趣愛國熱情與振興民族科學。

按研究的范圍又可分為內史和外史。

內史：從數學內在的原因（包括和其他自然科學之間的關系）來研究數學發展的歷史；

外史：從外在的社會原因（包括政治、經濟、哲學思潮等原因）來研究數學發展與其他社會因素間的關系。

數學史和數學研究的各個分支，和社會史與文化史的各個方面都有著密切的聯系，這表明數學史具有多學科交叉與綜合性強的性質。

從研究材料上說，考古資料、歷史檔案材料、歷史上的數學原始文獻、各種歷史文獻、民族學資料、文化史資料，以及對數學家的訪問記錄，等等，都是重要的研究對象，其中數學原始文獻是最常用且最重要的第一手研究資料。從研究目標來說，可以研究數學思想、方法、理論、概念的演變史；可以研究數學科學與人類社會的互動關系；可以研究數學思想的傳播與交流史；可以研究數學家的生平等等。

1、數學史所研究的內容是：

1.數學史研究方法論問題

2.數學史通史

3.數學分科史

4.不同國家、民族、地區的數學史及其比較

5.不同時期的斷代數學史

6.數學家傳記

7.數學思想、概念、數學方法發展的歷史

8.數學發展與其他科學、社會現象之間的關系

9.數學教育史

10.數學史文獻學

2、按其研究的范圍又可分為內史和外史：

1.內史：從數學內在的原因來研究數學發展的歷史；

2.外史：從外在的社會原因來研究數學發展與其他社會因素間的關系。

數學發展具有階段性，因此研究者根據一定的原則把數學史分成若干時期。學術界通常將數學發展劃分為以下五個時期：

1.數學萌芽期（公元前600年以前）；

2.初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）；

3.變量數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）；

4.近代數學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰）；

5.現代數學時期（20世紀40年代以來）。

數學發展至今，不知道經歷了多少人的嘔心瀝血，把數學歷史上發生的大事的年表列出：

推薦約公元前3000年 埃及象形數字

公元前2400～前1600年 早期巴比倫泥版楔形文字，采用60進位值制記數法。已知勾股定理

公元前1850～前1650年　埃及紙草書（莫斯科紙草書與萊茵德紙草書），使用10進非位值制記數法

公元前1400～前1100年 中國殷墟甲骨文，已有10進制記數法

周公（公元前11世紀)、商高時代已知勾三、股四、弦五

約公元前600年　希臘泰勒斯開始了命題的證明

約公元前540年 希臘畢達哥拉斯學派，發現勾股定理，并導致不可通約量的發現

約公元前500年 印度《繩法經》中給出√2相當精確的值，并知勾股定理

約公元前460年 希臘智人學派提出幾何作圖三大問題：化圓為方、三等分角和二倍立方

約公元前450年 希臘埃利亞學派的芝諾提出悖論

公元前430年 希臘安提豐提出窮竭法

約公元前380年 希臘柏拉圖在雅典創辦“學園”，主張通過幾何的學習培養邏輯思維能力

公元前370年 希臘歐多克索斯創立比例論

約公元前335年 歐多莫斯著《幾何學史》

中國籌算記數，采用十進位值制

約公元前300年 希臘歐幾里得著《幾何原本》，是用公理法建立演繹數學體系的最早典范

公元前287～前212年 希臘阿基米德，確定了大量復雜幾何圖形的面積與體積；給出圓周率的上下界；提出用力學方法推測問題答案，隱含近代積分論思想

公元前230年 希臘埃拉托塞尼發明“篩法”

公元前225年 希臘阿波羅尼奧斯著《圓錐曲線論》

約公元前150年 中國現存最早的數學書《算數書》成書（1983～1984年間在湖北江陵出土）

約公元前100年 中國《周髀算經》成書，記述了勾股定理

中國古代最重要的數學著作《九章算術》經歷代增補修訂基本定形（一說成書年代為公元 50～100年間），其中正負數運算法則、分數四則運算、線性方程組解法、比例計算與線性插值法盈不足術等都是世界數學史上的重要貢獻

約公元62年 希臘海倫給出用三角形三邊長表示面積的公式（海倫公式）

約公元150年 希臘托勒密著《天文學》，發展了三角學

約公元250年 希臘丟番圖著《算術》，處理了大量不定方程問題，并引入一系列縮寫符號，是古希臘代數的代表作

約公元263年 中國劉徽注解《九章算術》，創割圓術，計算圓周率，證明圓面積公式，推導四面體及四棱錐體積等，包含有極限思想

約公元300年 中國《孫子算經》成書，系統記述了籌算記數制，卷下“物不知數”題是孫子剩余定理的起源

公元320年 希臘帕普斯著《數學匯編》，總結古希臘各家的研究成果，并記述了“帕普斯定理”和旋轉體體積計算法

公元410年 希臘許帕提婭，歷史上第一位女數學家，曾注釋歐幾里得、丟番圖等人的著作

公元462年 中國祖沖之算出圓周率在 3.1415926與3.1415927之間，并以22/7為約率，355/113為密率（現稱祖率）

中國祖沖之和他的兒子祖暅提出“冪勢既同則積不容異”的原理，現稱祖暅原理，相當于西方的卡瓦列里原理（1635）

公元499年 印度阿耶波多著《阿耶波多文集》，總結了當時印度的天文、算術、代數與三角學知識。已知π=3.1416，嘗試以連分數解不定方程

公元600年 中國劉焯首創等間距二次內插公式，后發展出不等間距二次內插法（僧一行，724）和三次內插法（郭守敬，1280）

約公元625年 中國王孝通著《緝古算經》，是最早提出數字三次方程數值解法的著作

公元628年 印度婆羅摩笈多著《婆羅摩歷算書》，已知圓內接四邊形面積計算法，推進了一、二次不定方程的研究

公元656年 中國李淳風等注釋十部算經，后通稱《算經十書》

公元820年 阿拉伯花拉子米著《代數學》，以二次方程求解為主要內容，12世紀該書被譯成拉丁文傳入歐洲

約公元870年 印度出現包括零的十進制數碼，后傳入阿拉伯演變為現今的印度－阿拉伯數碼

約公元1050年 中國賈憲提出二項式系數表（現稱賈憲三角和增乘開方法）

公元1100年 阿拉伯奧馬·海亞姆首創用兩條圓錐曲線的交點來表示三次方程的根

公元1150年 印度婆什迦羅第二著《婆什迦羅文集》為中世紀印度數學的代表作，其中給出二元不定方程x⒉=1+py⒉若干特解，對負數有所認識，并使用了無理數

公元1202年 意大利L.斐波那契著《算盤書》，向歐洲人系統地介紹了印度－阿拉伯數碼及整數、分數的各種算法

公元1247年 中國秦九韶著《數書九章》，創立解一次同余式的大衍求一術和求高次方程數值解的正負開方術，相當于西方的霍納法（1819）

公元1248年 中國李冶著《測圓海鏡》，是中國現存第一本系統論述天元術的著作

約公元1250年 阿拉伯納西爾丁·圖西開始使三角學脫離天文學而獨立，將歐幾里得《幾何原本》譯為阿拉伯文

公元1303年 中國朱世杰著《四元玉鑒》，將天元術推廣為四元術，研究高階等差數列求和問題

公元1325年 英國T.布雷德沃丁將正切、余切引入三角計算

公元14世紀 珠算在中國普及

約公元1360年 法國N.奧爾斯姆撰《比例算法》，引入分指數概念，又在《論圖線》等著作中研究變化與變化率，創圖線原理，即用經、緯度（相當于橫、

縱坐標）表示點的位置并進而討論函數圖像

公元1427年 阿拉伯卡西著《算術之鑰》，系統論述算術、代數的原理、方法，并在《圓周論》中求出圓周率17位準確數字

公元1464年 德國J.雷格蒙塔努斯著《論一般三角形》，為歐洲第一本系統的三角學著作，其中出現正弦定律

公元1482年 歐幾里得《幾何原本》（拉丁文譯本)首次印刷出版

公元1489年 捷克韋德曼最早使用符號+、－表示加、減運算

公元1545年 意大利G.卡爾達諾的《大術》出版，載述了S·費羅（1515）、N.塔爾塔利亞（1535）的三次方程解法和L.費拉里（1544）的四次方程解法

公元1572年　意大利R.邦貝利的《代數學》出版，指出對于三次方程的不可約情形，通過虛數運算必可得三個實根，給出初步的虛數理論

公元1585年　荷蘭S.斯蒂文創設十進分數（小數)的記法

公元1591年 法國F.韋達著《分析方法入門》，引入大量代數符號，改良三、四次方程解法，指出根與系數的關系，為符號代數學的奠基者

公元1592年 中國程大位寫成《直指算法統宗》，詳述算盤的用法，載有大量運算口訣，該書明末傳入日本、朝鮮

公元1606年 中國徐光啟和利瑪竇合作將歐幾里得《幾何原本》前六卷譯為中文

公元1614年 英國J.納皮爾創立對數理論

公元1615年 德國開普勒著《酒桶新立體幾何》，有求酒桶體積的方法，是阿基米德求積方法向近代積分法的過渡

公元1629年 荷蘭吉拉爾最早提出代數基本定理

法國費馬已得解析幾何學要旨，并掌握求極大極小值方法

公元1635年 意大利（F.）B.卡瓦列里建立“不可分量原理”

公元1637年 法國R.笛卡兒的《幾何學》出版，創立解析幾何學

法國費馬提出“費馬大定理”

公元1639年 法國G.德扎格著《試論處理圓錐與平面相交情況初稿》，為射影幾何先驅

公元1640年 法國B.帕斯卡發表《圓錐曲線論》

公元1642年 法國B.帕斯卡發明加減法機械計算機

公元1655年 英國J.沃利斯著《無窮算術》，導入無窮級數與無窮乘積，首創無窮大符號∞

公元1657年 荷蘭C.惠更斯著《論骰子游戲的推理》，引入數學期望概念，是概率論的早期著作。在此以前B.帕斯卡、費馬等已由處理賭博問題而開始考慮概率理論

公元1665年 英國I.牛頓一份手稿中已有流數術的記載，這是最早的微積分學文獻，其后他在《無窮多項方程的分析》（1669年撰，1711年發表）、《流數術方法與無窮級數》（1671年撰，1736年發表）等著作中進一步發展流數術并建立微積分基本定理

公元1666年　德國G.W.萊布尼茨寫成《論組合的技術》，孕育了數理邏輯思想

公元1670年　英國I.巴羅著《幾何學講義》，引進“微分三角形”概念

約公元1680年 日本關孝和始創和算，引入行列式概念，開創“圓理”研究

公元1684年 德國G.W.萊布尼茨在《學藝》上發表第一篇微分學論文《一種求極大極小與切線的新方法》，兩年后又發表第一篇積分學論文，創用積分符號

公元1687年 英國I. 牛頓的 《自然哲學的數學原理》出版，首次以幾何形式發表其流數術

公元1689年　瑞士約翰第一·伯努利提出“最速降曲線”問題，后導致變分法的產生

法國 G.-F.-洛必達出版《無窮小分析》，其中載有求極限的洛必達法則

公元1707年 英國I.牛頓出版《廣義算術》，闡述了代數方程理論

公元1713年 瑞士雅各布第一·伯努利的《猜度術》出版，載有伯努利大數律

公元1715年 英國B.泰勒出版《正的和反的增量方法》，內有他1712年發現的把函數展開成級數的泰勒公式

公元1722年　法國A.棣莫弗給出公式（cos φ+i sin φ）^n =cos nφ+ i sin nφ

公元1730年　蘇格蘭J.斯特林發表《微分法，或關于無窮級數的簡述》，其中給出了Ν！的斯特林公式

公元1731年　法國A.－C.克萊羅著《關于雙重曲率曲線的研究》，開創了空間曲線的理論

公元1736年　瑞士L.歐拉解決了柯尼斯堡七橋問題

公元1742年　英國C.馬克勞林出版《流數通論》，試圖用嚴謹的方法來建立流數學說，其中給出了馬克勞林展開

公元1744年　瑞士L.歐拉著《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的技巧》，標志著變分法作為一個新的數學分支的誕生

公元1747年　法國J.le R. 達朗貝爾發表《弦振動研究》，導出了弦振動方程，是偏微分方程研究的開端

公元1748年　瑞士L.歐拉出版《無窮小分析引論》，與后來發表的《微分學》（1755）和《積分學》（1770）一起，以函數概念為基礎綜合處理微積分理論，給出了大量重要的結果，標志著微積分發展的新階段

公元1750年　瑞士G.克萊姆給出解線性方程組的克萊姆法則

瑞士L.歐拉發表多面體公式:V-E+F =2

公元1770年　法國J.－L.拉格朗日深入探討代數方程根式求解問題，考慮有理函數當變量發生置換時所取值的個數，成為置換群論的先導

德國J.H.朗伯開創雙曲函數的全面研究

公元1777年　法國G.-L.L布豐提出投針問題，是幾何概率理論的早期研究

公元1779年　法國□.貝祖著《代數方程的一般理論》，系統論述消元法理論

公元1788年　法國J.－L.拉格朗日的《分析力學》出版，使力學分析化，并總結了變分法的成果

公元1794年　法國A.－M.勒讓德的《幾何學基礎》出版，是當時標準的幾何教科書

法國建立巴黎綜合工科學校和巴黎高等師范學校

公元1795年　法國G.蒙日發表《關于把分析應用于幾何的活頁論文》，成為微分幾何學先驅

公元1797年　法國J.-L.拉格朗日著《解析函數論》，主張以函數的冪級數展開為基礎建立微積分理論

挪威C.韋塞爾最早給出復數的幾何表示

公元1799年 法國G.蒙日出版《畫法幾何學》，使畫法幾何成為幾何學的一個專門分支

德國C.F.高斯給出代數基本定理的第一個證明

公元1799～1825年　法國P.-S.拉普拉斯的5卷巨著《天體力學》出版，其中包含了許多重要的數學貢獻，如拉普拉斯方程、位勢函數等

公元1801年　德國C.F.高斯的《算術研究》出版，標志著近代數論的起點

公元1802年　法國J.E.蒙蒂克拉與拉朗德合撰的《數學史》共4卷全部出版，成為最早的較系統的數學史著作

公元1807年　法國J.－B.－J.傅里葉在熱傳導研究中提出任意函數的三角級數表示法（傅里葉級數），他的思想總結在1822年發表的《熱的解析理論》中

公元1810年　法國J.－D.熱爾崗創辦《純粹與應用數學年刊》，這是最早的專門數學期刊

公元1812年　英國劍橋分析學會成立

法國 P.-S.拉普拉斯著《概率的解析理論》，提出概率的古典定義，將分析工具引入概率論

公元1814年　法國 A.-L.柯西宣讀復變函數論第一篇重要論文《關于定積分理論的報告》（1827年正式發表），開創了復變函數論的研究

公元1817年　捷克B.波爾查諾著《純粹分析的證明》，首次給出連續性、導數的恰當定義，提出一般級數收斂性的判別準則

公元1818年　法國S.-D.泊松導出波動方程解的“泊松公式”

公元1821年　法國A.-L.柯西出版《代數分析教程》，引進不一定具有解析表達式的函數概念；獨立于B.波爾查諾提出極限、連續、導數等定義和級數收斂判別準則，是分析嚴密化運動中第一部影響深遠的著作

公元1822年　法國J.－V.彭賽列著《論圖形的射影性質》，奠定了射影幾何學基礎

公元1826年　挪威N.H.阿貝爾著《關于很廣一類超越函數的一個一般性質》，開創了橢圓函數論研究

德國A.L.克雷爾創辦《純粹與應用數學雜志》

法國J.-D.熱爾崗與J.-V.彭賽列各自建立對偶原理

公元1827年　德國C.F.高斯著《關于曲面的一般研究》，開創曲面內蘊幾何學

德國A.F.麥比烏斯著《重心演算》，引進齊次坐標，與J.普呂克等開辟了射影幾何的代數方向

公元1828年　英國G.格林著《數學分析在電磁理論中的應用》，發展位勢理論

公元1829年 德國C.G.J.雅可比著《橢圓函數論新基礎》，是橢圓函數理論的奠基性著作

俄國Н.И.羅巴切夫斯基發表最早的非歐幾何論著《論幾何基礎》

公元1829～1832年　法國E.伽羅瓦徹底解決代數方程根式可解性問題，確立了群論的基本概念

公元1830年 英國G.皮科克著《代數通論》，首創以演繹方式建立代數學，為代數中更抽象的思想鋪平了道路

公元1832年　匈牙利J.波爾約發表《絕對空間的科學》，獨立于Н.И.羅巴切夫斯基提出了非歐幾何思想

瑞士J.施泰納著《幾何形的相互依賴性的系統發展》，利用射影概念從簡單結構構造復雜結構，發展了射影幾何

公元1836年　法國J.劉維爾創辦法文的《純粹與應用數學雜志》

公元1837年　德國P.G.L.狄利克雷提出現今通用的函數定義（變量之間的對應關系)

公元1840年　法國 A.-L.柯西證明了微分方程初值問題解的存在性

公元1841～1856年　德國K.（T.W.）外爾斯特拉斯關于分析嚴密化的工作，主張將分析建立在算術概念的基礎之上，給出極限的ε－δ說法和級數一致收斂性概

念；同時在冪級數基礎上建立復變函數論

公元1843年　英國W.R.哈密頓發現四元數

公元1844年　德國E.E.庫默爾創立理想數的概念

德國H.G.格拉斯曼出版《線性擴張論》。建立Ν個分量的超復數系，提出了一般的Ν維幾何的概念

公元1847年　德國K.G.C.von 施陶特著《位置的幾何學》，不依賴度量概念建立射影幾何體系

公元1849～1854年　英國的A.凱萊提出抽象群概念

公元1851年 德國（G.F.）B.黎曼著《單復變函數的一般理論基礎》，給出單值解析函數的黎曼定義，創立黎曼面的概念，是復變函數論的一篇經典性論文

公元1854年　德國（G.F.）B.黎曼著《關于幾何基礎的假設》，創立Ν維流形的黎曼幾何學

英國G.布爾出版《思維規律的研究》，建立邏輯代數（即布爾代數）

公元1855年　英國A.凱萊引進矩陣的基本概念與運算

公元1858年　德國（G.F.）B.黎曼給出ζ函數的積分表示與它滿足的函數方程，提出黎曼猜想德國A. F. 麥比烏斯發現單側曲面（麥比烏斯帶）

公元1859年　中國李善蘭與英國的偉烈亞力合譯的《代數學》、《代微積拾級》以及《幾何原本》后9卷中文本出版，這是翻譯西方近代數學著作的開始

中國李善蘭建立了著名的組合恒等式（李善蘭恒等式）

公元1861年 德國K.（T.W.）外爾斯特拉斯在柏林講演中給出連續但處處不可微函數的例子

公元1863年　德國P.G.L.狄利克雷出版《數論講義》，是解析數論的經典文獻

公元1865年　倫敦數學會成立，是歷史上第一個成立的數學會

公元1866年　俄國П.Л.切比雪夫利用切比雪夫不等式建立關于獨立隨機變量序列的大數律，成為概率論研究的中心課題

公元1868年　意大利E.貝爾特拉米著《論非歐幾何學的解釋》，在偽球面上實現羅巴切夫斯基幾何，這是第一個非歐幾何模型

德國（G.F.）B.黎曼的《用三角級數表示函數的可表示性》正式發表，建立了黎曼積分理論

公元1871年　德國（C.）F.克萊因在射影空間中適當引進度量而得到雙曲幾何與橢圓幾何，這是不用曲面而獲得的非歐幾何模型

德國G.（F.P.）康托爾在三角級數表示的惟一性研究中首次引進了無窮集合的概念，并在以后的一系列論文中奠定了集合論的基礎

公元1872年　德國（C.）F.克萊因發表《埃爾朗根綱領》，建立了把各種幾何學看作為某種變換群的不變量理論的觀點，以群論為基礎統一幾何學

實數理論的確立：G.（F.P.）康托爾的基本序列論；J.W.R.戴德金的分割論；K.(T.W.)外爾斯特拉斯的單調序列論

公元1873年　法國C.埃爾米特證明e的超越性

公元1874年　挪威M.S.李開創連續變換群的研究，現稱李群理論

公元1879年　德國（F.L.）G.弗雷格出版《概念語言》，建立量詞理論，給出第一個嚴密的邏輯公理體系，后又出版《算術基礎》（1884）等著作，試圖把數學建立在邏輯的基礎上

公元1881～1884年　德國（C.)F.克萊因與法國（J.－）H.龐加萊創立自守函數論

公元1881～1886年　法國（J.－）H.龐加萊關于微分方程確定的曲線的論文，創立微分方程定性理論

公元1882年 德國M.帕施給出第一個射影幾何公理系統

德國F.von林德曼證明π的超越性

公元1887年　法國（J.－）G.達布著《曲面的一般理論》，發展了活動標架法

公元1889年　意大利G.皮亞諾著《算術原理新方法》，給出自然數公理體系

公元1894年　荷蘭T.（J.）斯蒂爾杰斯發表《連分數的研究》，引進新的積分（斯蒂爾杰斯積分）

公元1895年　法國（J.－）H.龐加萊著《位置幾何學》，創立用剖分研究流形的方法，為組合拓撲學奠定基礎

德國F.G.弗羅貝尼烏斯開始群的表示理論的系統研究

公元1896年　德國H.閔科夫斯基著《數的幾何》，創立系統的數的幾何理論

法國J.（-S.）阿達馬與瓦里-布桑證明素數定理

公元1897年　第一屆國際數學家大會在瑞士蘇黎世舉行

公元1898年　英國K.皮爾遜創立描述統計學

公元1899年　德國D.希爾伯特出版《幾何基礎》，給出歷史上第一個完備的歐幾里得幾何公理系統，開創了公理化方法，并預示了數學基礎的形式主義觀點。?