傅立葉變換
傅立葉變換是一種分析信號的方法，表示能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或余弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。
概念定義 編輯本段
Fourier transform或Transformée de Fourier有多個中文譯名，常見的有“傅里葉變換”、“付立葉變換”、“傅立葉轉換”、“傅氏轉換”、“傅氏變換”、等等。為方便起見，本文統一寫作“傅里葉變換”。
傅立葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作為信號的成分。
定義介紹
f(t)是t的周期函數，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個以2T為周期內f(X)連續或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調或可劃分成有限個單調區間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級數收斂，和函數S（x）也是以2T為周期的周期函數，且在這些間斷點上，函數是有限值；在一個周期內具有有限個極值點；絕對可積。則有①式成立。稱為積分運算f(t)的傅立葉變換，
②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的像函數，f(t)叫做F(ω)的像原函數。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。
傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成頻率譜——顯示與頻率對應的幅值大小）。
相關理論
*傅里葉變換屬于諧波分析。
*傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;
*正弦基函數是微分運算的本征函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解。在線性時不變的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；
*卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；
通俗解釋
首頁，使用正余弦波，理論上可以疊加為一個矩形。隨著正弦波數量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標準的矩形，大家從中體會到了什么道理？
不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設定，游戲就開始有意思起來了。
正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：
這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜。
可以發現，在頻譜中，偶數項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。
線性性質 編輯本段
傅里葉變換的線性，是指兩函數的線性組合的傅里葉變換，等于這兩個函數分別做傅里葉變換后再進行線性組合的結果。具體而言，假設函數和傅里葉變換存在，任意常系數，則有尺度變換性質若函數傅里葉變換為則對任意的非零實數a，函數傅里葉變換在，且等于于情形，上式表明，若將圖像沿橫軸方向壓縮，則其傅里葉變換的圖像將沿橫軸方向展寬，同時高度變為原來的對于情形，還會使得傅里葉變換的圖像關于縱軸做鏡像對稱。
特殊變換 編輯本段
連續
一般情況下，若“傅里葉變換”一詞的前面未加任何限定語，則指的是“連續傅里葉變換”。“連續傅里葉變換”將平方可積的函數表示成復指數函數的積分形式：上式其實表示的是連續傅里葉變換的逆變換，即將時間域的函數表示為頻率域的函數的積分。反過來，其正變換恰好是將頻率域的函數示為時間域的函數積分形式。一般可稱函數原函數，而稱函數傅里葉變換的像函數，原函數和像函數構成一個傅里葉變換對（transform pair）。
當為奇函數（或偶函數）時，其余弦（或正弦）分量為零，而可以稱這時的變換為余弦變換（或正弦變換）。
傅里葉級數
連續形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對于周期函數，它的傅里葉級數（Fourier series）表示被定義為：其中函數的周期，傅里葉展開系數，它們等于對于實值函數，函數的傅里葉級數可以寫成：其中實頻率分量的振幅。
離散時間
離散時間傅里葉變換（discrete-time Fourier transform, DTFT）針對的是定義域為Z的數列。設某一數列，則其DTFT被定義為
相應的逆變換為
DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的，它一般用來對離散時間信號進行頻譜分析。DTFT可以被看作是傅里葉級數的逆。
離散傅里葉變換
為了在科學計算和數字信號處理等領域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數定義在離散點上而非連續域內，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下，序列離散傅里葉變換（discrete Fourier transform, DFT）為
其逆變換為直接使用DFT的定義計算的計算復雜度為而快速傅里葉變換（fast Fourier transform, FFT）可以將復雜度改進為計算復雜度的降低以及數字電路計算能力的發展使得DFT成為在信號處理領域十分實用且重要的方法。
在阿貝爾群上的統一描述
以上各種傅里葉變換可以被更統一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換。這一問題屬于調和分析的范疇。在調和分析中，一個變換從一個群變換到它的對偶群（dual group）。此外，將傅里葉變換與卷積相聯系的卷積定理在調和分析中也有類似的結論。
傅里葉變換家族
下表列出了傅里葉變換家族的成員。容易發現，函數在時（頻）域的離散對應于其像函數在頻（時）域的周期性，反之連續則意味著在對應域的信號的非周期性。
傅里葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在他此后生命的六年中，拉格朗日堅持認為傅里葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作，幸運的是，傅里葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發表出來。
拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅里葉是對的。
用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因在于，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。
用三角函數展開
為什么偏偏選擇三角函數而不用其他函數進行分解？我們從物理系統的特征信號角度來解釋。我們知道：大自然中很多現象可以抽象成一個線性時不變系統來研究，無論你用微分方程還是傳遞函數或者狀態空間描述。線性時不變系統可以這樣理解：輸入輸出信號滿足線性關系，而且系統參數不隨時間變換。對于大自然界的很多系統，一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。也就是說正弦信號是系統的特征向量！當然，指數信號也是系統的特征向量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴散現象大多是指數形式的，或者既有波動又有指數衰減（復指數形式），因此具有特征的基函數就由三角函數變成復指數函數。但是，如果輸入是方波、三角波或者其他什么波形，那輸出就不一定是什么樣子了。所以，除了指數信號和正弦信號以外的其他波形都不是線性系統的特征信號。
用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波或者其他什么函數來表示的原因在于：正弦信號恰好是很多線性時不變系統的特征向量。于是就有了傅里葉變換。對于更一般的線性時不變系統，復指數信號(表示耗散或衰減)是系統的“特征向量”。于是就有了拉普拉斯變換。z變換也是同樣的道理，這時是離散系統的“特征向量”。這里沒有區分特征函數和特征向量的概念，主要想表達二者的思想是相同的，只不過一個是有限維向量，一個是無限維函數。
傅里葉級數和傅里葉變換其實就是我們之前討論的特征值與特征向量的問題。分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。這樣，用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質。
這也解釋了為什么我們一碰到信號就想方設法的把它表示成正弦量或者復指數量的形式；為什么方波或者三角波如此“簡單”，我們非要展開的如此“麻煩”；為什么對于一個沒有什么規律的“非周期”信號，我們都絞盡腦汁的用正弦量展開。就因為正弦量(或復指數)是特征向量。
什么是時域？從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。
什么是頻域？頻域(frequency domain)是描述信號在頻率方面特性時用到的一種坐標系。用線性代數的語言就是裝著正弦函數的空間。頻域最重要的性質是：它不是真實的，而是一個數學構造。頻域是一個遵循特定規則的數學范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。
對于一個信號來說，信號強度隨時間的變化規律就是時域特性，信號是由哪些單一頻率的信號合成的就是頻域特性。
時域分析與頻域分析是對信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標表示動態信號的關系；頻域分析是把信號變為以頻率軸為坐標表示出來。一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。目前，信號分析的趨勢是從時域向頻域發展。然而，它們是互相聯系，缺一不可，相輔相成的。貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳說中的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)。
根據原信號的不同類型，我們可以把傅里葉變換分為四種類別：
1非周期性連續信號傅里葉變換（Fourier Transform）
2周期性連續信號傅里葉級數(Fourier Series)
3非周期性離散信號離散時域傅里葉變換（Discrete Time Fourier Transform）
4周期性離散信號離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)
是四種原信號圖例：
這四種傅里葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅里葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義成從負無窮大到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅里葉變換的方法。還有，也可以把信號用復制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離散信號，這時我們就可以用離散傅里葉變換方法進行變換。這里我們要學的是離散信號，對于連續信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。
但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機來說是不可能實現的。所以對于離散信號的變換只有離散傅里葉變換（DFT）才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。
每種傅里葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅里葉變換(real DFT)，再去理解復數傅里葉就更容易了，所以我們先把復數的傅里葉放到一邊去，先來理解實數傅里葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅里葉變換的基礎上再來理解復數傅里葉變換。
如所示，實信號四種變換在時域和頻域的表現形式。
還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理（DSP），有許多的變換：傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅里葉變換算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義。傅里葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅里葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。
和傅里葉變換算法對應的是反傅里葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。
從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。
在數學領域，1. 傅里葉變換是線性算子，若賦予適當的范數，它還是酉算子;2. 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函數是微分運算的本征函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解。在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段;4. 離散形式的傅里葉的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;5. 著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復變換可以利用數字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法(FFT))。
圖像傅里葉變換
圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅里葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅里葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅里葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅里葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。
傅里葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續空間（現實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系。為什么要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅里葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅里葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。
另外說明以下幾點：
1、圖像經過二維傅里葉變換后，其變換系數矩陣表明：
若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣的中心附近（圖中陰影區）。若所用的二維傅里葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數矩陣的四個角上。這是由二維傅里葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區域。
2 、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）。
主要應用 編輯本段
盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！奇妙的是，現代數學發現傅里葉變換具有非常好的性質，使得它如此的好用和有用，讓人不得不感嘆造物的神奇：
傅里葉變換是線性算子，若賦予適當的范數，它還是酉算子；
傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；
正弦基函數是微分運算的本征函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；
著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；
離散形式的傅里葉變換可以利用數字計算機快速的算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT)).
正是由于上述的良好性質，傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。
有關傅里葉變換的FPGA實現
傅里葉變換是數字信號處理中的基本操作，廣泛應用于表述及分析離散時域信號領域。但由于其運算量與變換點數N的平方成正比關系，因此，在N較大時，直接應用DFT算法進行譜變換是不切合實際的。然而，快速傅里葉變換技術的出現使情況發生了根本性的變化。本文主要描述了采用FPGA來實現2k/4k/8k點FFT的設計方法。
附件列表
詞條內容僅供參考，如果您需要解決具體問題
（尤其在法律、醫學等領域），建議您咨詢相關領域專業人士。